Au lieu de faire une réponse au commentaire sur les PM (ici), je vais faire un billet. La question était "cettte provision correspond elle à la PM zillmérisée. Si non, comment la calcule-t-on ? ".
Finalement, ça correspond aussi à la suite du billet
d’hier sur les termes actuariels (ici). Avant de parler de la PM, il
faut revenir un peu davantage sur les primes, et distinguer la prime
pure (que l’on a évoquée jusqu’à présent)
et la prime commerciale. Ensuite seulement, on pourra parler des
calculs de PM.
- Primes pure et commerciale
Jusqu’à présent, je n’ai pas parlé des
frais de gestion ou des
frais d’acquisition.
Dans le second cas, il s’agit des dépenses engagées pour
établir la police, et rémunérer l’agent qui
rapporte le contrat. Dans le premier cas, il faut distinguer les frais
durant la période où il faut encaisser les primes
(période 1), et les frais durant la période où il
faut garantir un paiement à l’assuré (période 2).
Au cours de la première période, on trouvera les frais
d’établissement des quittances, par exemple. Les deux peuvent
bien entendu coïncider, auquel cas les frais s’additionne. On
supposera que les frais sont
proportionnels aux capitaux garantis. On peut aussi supposer qu’il y a des frais de prime commerciale (proportionnels à la prime pure)
Sous ces hypothèses, pour calculer la prime chargée (ou
prime commerciale) de l’assuré, on suppose que la valeur
actuelle probable des engagements de l’assuré est égale
à la valeur actuelle probable des engagements de l’assureur,
à laquelle on ajoute la valeur actuelle probable des frais de
gestion.
Si on considère un
prime unique, on a quelque chose comme
où
désigne la
prime commerciale unique,
désignent les frais d’acquisition,
correspond aux frais de
gestion des engagements de l’assureur (il n’y a pas de
car la prime
est versée au début, en une seule fois),
l’annuité associée à la garantie proposée
par l’assureur (i.e. avec un capital garanti de 1) et r les chargements
sur la prime. On suppose ici que tout est payé en début d’année, histoire de simplifier...
Pour une
prime annuelle,
en notant en minuscule les primes annuelles, et
l’annuité associée aux engagements de l’assuré
(i.e. payer sa prime annuellement tant qu’il est en vie pendant une
période prédéterminée),
soit encore
Pour compliquer un peu les choses, notons qu’il existe une
contre-assurance
de cette prime commerciale.En effet, certains contrats d’assurance en
cas de vie (disons de la retraite pour fixer les choses) où une
garantie prévoie un remboursement des
primes commerciales versées en
cas de décès de l’assuré avant le début de
la retraite. Toujours pour fixer les choses, considérons une
assurance de capital différé, de durée
,
souscrite à l’âge
. Comme auparavant, on note
la
prime unique commerciale contenant cette contre assurance, de telle
sorte que
La valeur actuelle probable de la contre-assurance correspond à l’annuité d’une assurance temporaire décès de
années, i.e.
qui peut s’écrire
soit
Si l’on considère une prime annuelle, payée tout au long des n années, on a quelque chose de la forme
où pour rappel (je renvoie au cours à ce sujet)
désigne une assurance temporaire décès dont le capital croît d’une unité chaque année, ce qui donne
Ce n’est pas forcément joli, mais comme toujours en actuariat de
l’assurance-vie, il suffit d’écrire les choses calmement pour
retomber sur des notions qui ont été
prédéfinies.
- PM pure, d’inventaire ou zillmérisée
De la même façon qu’il existe plusieurs formes de
chargements et de frais pour les prime, il existera plusieurs
sortes de provisions mathématiques. Telle que je l’ai
présentée, i.e. différence entre la valeur
actuelle probable des engagements de l’assureur, et la valeur actuelle
probable des engagements de l’assuré (des primes), il s’agit de
la
provision mathématique pure.
Pour un contrat souscrit à l’age x, et vu après k
années, je l’avais notée
(c’est la notation
officielle). Mais ce n’est pas ce que la réglementation demande de calculer.
"
Les provisions mathématiques constituées par les entreprises
d’assurance-vie et de capitalisation sont calculées en tenant compte,
dans la détermination de l’engagement de l’assuré ou du souscripteur,
de la partie des primes devant être versée par l’intéressé et
représentative des frais d’acquisition du contrat, lorsque ces frais
ont été portés en charge déductible par l’entreprise avant la fin de
l’exercice à la clôture duquel la provision est constituée." (Article L331-1 du Code des Assurance,
ici)
L’idée est qu’une fois la période de paiement de la prime
(voire dès le début en cas de prime unique), la PM pure
ne sera pas suffisante, l’assureur ayant davantage de frais.
Il va falloir prendre en compte différentes sortes de frais ou
de chargements (évoqués auparavant). Le cas le plus
simple est celui des
chargements
dits de règlement: si pour payer 1€ de prestation,
cela coûte
€ à l’assureur, la prime annuelle
payée par l’assureur doit être multipliée par
(de telle sorte que les VAP initiale soient égales). Dans ce cas,
un rapide calcul montre que la PM doit être multipliée par
également (les engagements de part et d’autre sont
multipliés par ce même facteur).
Bon, pour les
frais de gestion,
c’est un peu plus compliqué. Si on reprend ce qui a
été fait ici, on peut montrer que la différence
entre les VAP donne une provision de la forme suivante
si la durée de paiement des primes était initialement
,
et que
est la durée de la garantie. Si
=
, il n’y a alors pas
de provision de gestion, le second terme étant nul. Cette
provision existe dès lors que
(ce qui arrive au final
assez souvent me semble-t-il). On arrive ainsi à la
provision d’inventaire, qui est souvent notée
. Mais ce n’est pas fini, il y a aussi les
frais d’acquisition.
Généralement, ces frais sont occasionnés à
la signature du contrat, puis amori tout au long de la durée du
contrat, via un chargement (constant) sur la prime. Aussi,
On pose alors
On baisse ainsi la PM en prenant en compte les chargements pour frais
d’acquisition. Cette méthode où l’on prend en compte la
valeur actuelle des frais d’acquisition dans que la PM est positive
s’appelle la
zillmérisation.
Voilà en gros ce que j’ai compris (je suis loin d’être un
expert sur le sujet).... Car pour ceux qui en douteraient encore,
l’assurance-vie n’est pas du tout mon domaine de prédilection.
Promis, c’est mon avant dernier billet sur les PM (le dernier
étant une ébauche de correction pour le devoir maison...
mais on attendra que tout le monde l’ait rendu). Maintenant s’il y en a
qui ont des compléments ou des corrections à apporter, je
suis preneur ! Je peux toutefois renvoyer à un billet de Cimon sur le sujet il y a quelque temps maintenant,
ici.
Pour les historiens, je renvoie en revanche à une traduction (en
anglais) du papier d’August Zillmer présentant cette méthode, datant de
1863 (
là) !
The
paper on the 2003 heat wave has been submitted a few months ago, and now, the preprint can be downloaded (here for the preprint
version, or here on Hal). The paper has a long story, that I will probably summarize here, some day...
The
paper on solvency, ruine and reinsurance has now been officially submitted (
Toujours pour répondre à une question posée par mail ("
converge en loi (si l’hypothèse H0 était la bonnne) vers un pont brownien changé de temps par la fonction quantile 
.
ici). En pratique, on ne connaît pas
cette loi, mais on peut l’estimer, en particulier pour les lois
paramétriques. On peut alors chercher à tester autre chose, comme
donne
donne
Pour
poursuivre un peu mon étude sur les prénoms en France, commencée 
correspond à la fréquence dans chacun des
noeuds dans les classes (ici i=0,1). Aussi, si la variable est
uniformément répartie dans les deux classes, l’indice de
Gini sera élevé. On cherche alors à minimiser
l’indice de Gini. Avec deux classes, l’indice est compris entre 0 et
1/2. Notons que l’indice de Gini mesure la probabilité que deux
individus, tirés au hasard dans un noeud, appartiennent à
deux classes différentes.
que l’on supposera ordonné, i.e. 
, la courbe de Lorenz est le nuage de points 
où 
et 
où
Avant la formation SéPIA sur la tarification (
définie comme
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