Arthur Charpentier

Bon, je vais essayer de clarifier ici une partie du cours que, tous les ans, je rate: les méthodes de calculs de la provision mathématique. Après quelques éléments de droit, je pense que le plus simple est d’illustrer le calcul de la PM sur un cas simple, comme en cours, i.e. une temporaire décès avec prime annuelle. Cet exemple avait été repris ici, très (trop) brièvement. Sinon je peux renvoyer vers les slides de Pierre Devolder, ici,

• Valorisation d’une assurance temporaire décès

Le "principe fondamental de valorisation", on doit avoir
en faisant une valorisation à la date 0, i.e. la date de souscription du contrat.
Pour l’assuré, il souhaite payer une prime annuelle constante , noté plus simplement , tant qu’il est en vie i.e.
où
(le  car le paiement se faisant ici en début de période).  De même,
où
(l’indemnité étant versé par l’assureur à terme échu). J’utilie ici les notations officielles selons les normes françaises que l’on retrouve dans les ouvrages de Pierre Petauton et Christian Hess (ormis peut être pour le taux d’actualisation qui est généralement noté i). Il existe des nuances entre les notations françaises et les notations internationales. Je renvoie ici ou là pour les standards internationaux. Parmi les notations internationales, on notera que ce que j’ai noté A ici est souvent noté \bar{A} dans la littérateure anglosaxonne (le A signifiant un paiement en milieu d’année).
Berf, pour revenir à notre prime annuelle, on en déduit que

• Définition de la provision mathématique

Notons  la valeur actuelle probable, en , des engagements de l’assurés pour la période . Aussi,  sera la valeur actuelle probable, en 0, des k premières primes annuelles. Et on notera  la valeur actuelle probable, en 0, des engagements de l’assurés pour la période , i.e. la valeur actuelle probable des n-k dernières primes annuelles.
De manière analogue, notons  la valeur actuelle probable, en , des engagements de l’assureur pour la période .
Comme tenu du principe fondamental de valorisation, pour un contrat arrivant à échéance au bout de n années, on doit avoir
pour un contrat soucrit à la date 0 et tel qu’il n’y a plus d’engagement de part et d’autre passé n années.
Aussi
avec, de manière générale
et
(d’où le principe d’inversion du cycle de production de l’assurance).
La provision mathématique (pures) de l’année k sera noté  si elles sont actualisée à la date t. La référence étant  (i.e. on actualise en k). C’est ce qui a été noté  dans le cours. On  définit par
Cette définition sera dite rétrospective (car on se place sur la période antérieure à k).On peut aussi écrire, de manière équivalente (compte tenu du principe de valorisation)
Cette définition sera dite prospective (car on se place sur la période postérieure à k).
Enfin, il existe une dernière méthode, correspondant à une simple mise à jour, i.e.
Cette méthode sera dite itérative,voire en l’occurence itérative ascendante, car on initialise avec . Mais il sera aussi possible de construire une méthode itérative descendante, récursive, commençant à la fin du contrat. Mais n’essayons pas de compliquer les choses (j’ai déjà suffisement de mal à m’y retrouver moi même).

• Un peu de législation

Comme l’explique l’article R331-3 du Code des Assurance (ici), "Provision mathématique : différence entre les valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l’assureur et par les assurés, à l’exception, pour les contrats mentionnés à l’article L. 142-1, des engagements relatifs à la provision de diversification" ou ici pour le lexique de l’ACAM. Le document ici reprend aussi une définition de ces provisions,

• La vision du Bowers et al.

Dans l’actuariat américain, le calcul des benefit reserves se fait en introduisant , correspondant à la valeur actualisée à la date t des gains (ou des pertes) futurs de l’assureur (obtenus comme différence entre les engagements de part et d’autre). La provision mathématique est alors "l’espérance de la valeur actualisée à la date k des gains futurs de l’assureur conditionnelemnt au fait que (x) soit en vie". La forme concise est alors
C’est cette définition que nous avions utilisé en cours.

• La méthode prospective

Nous avions commencé, en cours, par la méthode prospective, car c’est la plus naturelle (de mon point de vue) compte tenu de la législation. Nous avions posé
Notons que
où le terme de droite désigne la valeur actuelle probable d’un capital différé, relatif au versement d’un euro dans n année, conditionnée par la survie de (x), i.e.
Si l’on se place à la date k (car c’est le plus simple, mais l’assuré a alors l’âge x+k), notons que la différence entre les valeurs actuelles probables des engagements des deux parties donne, simplement
car d’un côté, on a une temporaire décès sur les n-k années restantes pour un assuré d’âge x+k, et de l’autre, l’assuré a pris l’engagement de verser sa prime (qui reste inchangée) pendant n-k années s’il vit. Aussi,
où l’on considère des assurances décès différées. On peut aussi écrire

• La méthode rétrospective

La méthode rétrospective n’est pas beaucoup plus compliquée. On écrit simplement
i.e. . Or , et donc

• La méthode itérative

L’idée est ici de décrire la variation de la provision mathématique entre deux dates en fonction des variation des engagements de part et d’autre. D’un côté il y a le paiement de la prime (en début de période, donc pas de problème d’actualisation et de non paiement), et de l’autre, une assurance décès sur un an. Aussi
Or , ce qui donne, finalement
avec la convention que la première PM est nulle (de part notre principe fondamental de valorisation).

• Mise en oeuvre pratique

Bon, c’est bien joli ces formules, mais il serait bon de voir si on peut faire des calculs. J’avais fait en cours les calculs dans une feuille excel (comme ici), mais avec R on devrait pouvoir y arriver facilement.... ça sera l’objet d’un billet qui arrivera rapidement (normalement).