Arthur Charpentier

Chose promise (ici), chose dûe, je vais revenir à la causalité, de manière un peu plus formelle je pense....

• Les premiers travaux de Ronald Fisher

Mais avant tout chose, notons que les essais pour formaliser ces histoires de causalité sont finalement assez anciens On peut remonter par exemple 50 ans en  arrière, avec plusieurs papiers publiés par Ronald Fisher, le premier intitulé "cigarettes, cancer and statistics" (ce qui donne le ton), et surtout deux papiers de vulgarisation dans Nature, le premier "lung cancer and cigarettes" puis un second "cancer and smoking". Bon, à en voir la photo (mais aussi des éléments bibliographiques¹), je pense que l’intention était de montrer que corrélation ne signifiait pas causalité, mais finalement, peu importe les motivations, la question est  pertinante. Il a d’ailleurs collecté ces travaux dans une oeuvre un peu pamphlétaire "smoking: the cancer contreversy, some attempts to assess the evidence". En fait les compagnies de cigarettes avaient compris très tôt que "corrélations statistiques" existaient, mais niais la relation de causalité. Et Ronald ne leur donnait pas vraiment tort...
Bon, mais si Ronald Fisher a souligné avec force la différence entre corrélation et causalité, il faut admettre qu’il n’a pas vraiment apporté de réponse. D’autant plus qu’il est mort 4 ans plus tard.... Entre temps, notons qu’il avait beaucoup discuté avec Bertand Russell sur la signification philosophique de la causalité.
Mais plusieurs auteurs s’étaient aussi penché sur ce problème, dont Jerome Cornfield, Richard Doll, ou encore Bradford Hill, qui établirent tous que le pourcentage des fumeurs dans une population de personnes atteintes de cancer était supérieur à celui dans une population de contrôle. Ils parlèrent de "retrospective studies" (un peu  comme pour souligner qu’ex post on observe toujours des choses dont on ne peut rien déduire, comme j’en parle ici). On part en effet de personnes malades, et on cherche ce qui pourrait les distinguer. Le cancer est une caractéristique, mais il aurait été possible - peut être - de trouver une autre "cause" comme le fait de porter un T-shirt ou une chemise, ou le fait de prendre du thé ou du café au petit déjeuner.
Bref, faire une étude de causalité nécessitait de ne pas partir d’un échantillon de personnes malades, mais de suivre une population dans le temps (ce qui est forcément beaucoup plus long). On parle alors  de "prospective studies".

• La réponse de Clive Granger

Pour comprendre la notion de causalité telle que l’avait introduite Clive Granger en 1969, considérons deux séries temporelles. En effet, pour comprendre la différence entre la causalité et la corrélation, il faut qu’une variable se réalise avant l’autre.
On se donne deux processus  et on se demande si  cause , et dans quelle mesure (à supposer que cette causalité soit quantifiable, ou mesurable).     La loi du processus est la loi du processus du couple . Cette dernière s’écrit, à la date t, conditionnellement au passé, noté  et ,
Dans le cas où les processus et sont indépendants, alors
On peut montrer que


En passant au logarithme, et en prenant l’espérance (bon, et aussi en multipliant par 2 pour ceux qui veulent vérifier²) alors



ce qui permet d’indentifier un peu tous les termes que l’on devrait naturellement voire apparaître quand on va regarder un peu plus en détails.
Voilà pour les généralités. Formellement, on retrouve les notions de causalité introduites par Clive Granger,

Soient et  deux séries temporelles. En reprenant les définition proposée par Clive Granger dès 1969, on dira

• cause à la date t si et seulement
• cause instantanément à la date t si et seulement

autrement dit, on a des définitions assez intuitives. Non ?
Si c’est un peu trop théorique, prenons le petit exemple simple suivant: soient  et  deux séries temporelles définies par une relation de récurence de la forme
où on va supposer que   et  sont des bruits blancs indépendants. Comme
on notera que cause à la date t si et seulement . De manière similaire, notons que
autrement dit, on a causalité instantanée de  vers si et seulement si .
Les séries ont été simulées sur le graphique ci-dessous, en supposant que un bruit blanc.


Si l’on prend une série intégrée pour  la causalité est peut être un peu plus claire à visualiser,

Bon, mais cet exemple peut bien sûr se généraliser ! Rien de plus simple..... Pour cela, on va suppose que le couple suit un modèle autorégressif joint, i.e.
soit, en explicitant un peu,
où on supposera , ce qui permettra d’interpréter le vecteur  comme le processus d’innovation. Alors

• ne cause pas  à la date t si et seulement si et seulement si les coefficients de  sont nuls, i.e. 

• ne cause pas à la date t si et seulement si et seulement si les coefficients de  sont nuls, i.e. 

Cette causalité est finalement assez intuitive, et finalement assez simple à tester avec n’importe quel logiciel... 
² pour ceux qui lisent régulièrement ce blog, on voit souvent des 2 trainer dans les formules de statistique, comme pour définir la déviance par exemple... Je ferais un jour un billet pour expliquer pourquoi les statisiciens essayent de se donner de l’importance en multipliant tout par 2.